Selasa, 07 Oktober 2014

Cara Menggunakan Sketch Pad

Geometer’s Sketch Pad (sering disebut Sketchpad) adalah software matematika dinamis yang dapat digunakan untuk mempelajari geometri, aljabar, kalkulus, dan lain sebagainya. Sketch Pad merupakan sistem penggunaan yang menggambar, menarik sebagai roman medium komunikasi untuk suatu komputer. Sistem berisi masukan, keluaran, dan perhitungan program yang mana memungkinkan untuk menginterpretasikan informasi yang menarik secara langsung pada suatu komputer.

Berikut ini penjelasan tentang bagaimana menggunakan Sketch Pad:

1. Buka aplikasi  Geometer’s Sketch Pad  pada PC anda. Maka akan terlihat tampilan sebagai berikut:

2. Macam-macam toolbar yang ada pada tampilan Geometer’s Sketchpad:

Demikianlah sekilas tentang bagaimana menggunakan/membuka aplikasi Geometer’s Sketch Pad, untuk selanjutnya akan di jelaskan bagaimana menggambar titik menggunaka aplikasi Geometer’s Sketch Pad.

Senin, 26 April 2010

Metode Newton untuk Pencarian Akar di Maple

Metode Newton atau yang biasa dikenal dengan metode Newton Raphson dapat digunakan untuk mencari akar dari suatu fungsi. Keunggulan metode ini adalah memiliki laju konvergensi kuadratik, sehingga metode ini lebih cepat untuk konvergen menuju akar pendekatan daripada metode lain yang memiliki laju konvergensi linear.


Pada dasarnya, algoritma metode Newton untuk mencari akar suatu fungsi f(x) dimulai dengan menentukan nilai awal iterasi terlebih dahulu, misalkan x = a. Pada setiap iterasi, metode Newton ini akan mencari suatu nilai katakanlah b yang berada pada sumbu-x. Nilai b ini diperoleh dengan menarik garis singgung fungsi f(x) di titik x = a ke sumbu-x.

Dengan menggunakan Maple, Anda dapat menghitung akar pendekatan dari fungsi menggunakan metode Newton ini dengan mudah. Perintah yang digunakan untuk melakukan hal ini adalah

NewtonsMethod(f(x), x = a);

dengan f(x) adalah fungsi yang akan dicari akar pendekatannya, dan a adalah nilai awal iterasinya.

Perintah NewtonsMethod() berada dalam Calculus1 Student Package, sehingga perintah ini hanya bisa berjalan apabila sebelumnya paket tersebut dipanggil dengan perintah


with(Student[Calculus1]):

Perintah NewtonsMethod() ini akan dihasilkan akar pendekatan sebagai hasil dari 5 iterasi metode Newton. Adapun ouputnya, bisa berupa nilai tunggal akar pendekatan (hasil dari iterasi ke-5 saja), nilai setiap iterasinya, atau bahkan visualisasi grafik setiap iterasinya.

Apabila Anda menginginkan outputnya dalam bentuk nilai tunggal akar pendekatan, maka gunakan perintah

NewtonsMethod(f(x), x = a);

Sedangkan apabila Anda ingin menampilkan hasil akar pendekatan setiap iterasinya, maka gunakan

NewtonsMethod(f(x), x = a, output = sequence);

dan bila menginginkan output dalam bentuk visualisasi grafik, gunakan

NewtonsMethod(f(x), x = a, output = plot);

Berikut ini beberapa contoh output yang dihasilkan dari perintah yang berbeda


NewtonsMethod(sin(x) + 1, x = 1);

menghasilkan -1.619017361

NewtonsMethod(sin(x) + 1, x = 2, output = sequence);

menghasilkan 2, 6.588037826, 5.225039135, 4.962948756, 4.837009302, 4.774618375

NewtonsMethod(x^2 + x + 1, x = 2, output = plot);

menghasilkan grafik seperti di bawah ini


Membuat Grafik Fungsi 3D dengan Maple

Pada artikel yang lain telah dibahas tentang cara membuat grafik fungsi 2 dimensi dengan Maple. Untuk artikel ini akan dibahas cara membuat grafik fungsi 3 dimensi.

Diberikan sebuah fungsi z = f(x, y). Apabila fungsi tersebut akan dibuat grafik 3 dimensinya pada domain [a, b] untuk x dan [c, d] untuk y, maka sintaks perintahnya adalah:


> plot3d(f(x, y), x=a..b, y=c..d);

Sebagai contoh, akan dibuat grafik dari fungsi f(x, y) = sin(x) cos(y) pada [0, 5] untuk x dan [-3, 6] untuk y.

> plot3d(sin(x)*cos(y), x=0..5, y=-3..6);

atau


> f := (x, y) -> sin(x)*cos(y);
> plot3d(f(x, y), x=0..5, y=-3..6);

Secara default, grafik 3 dimensi yang dihasilkan tidak disertai dengan gambar sumbu-sumbunya. Untuk menampilkan sumbunya, tambahkan option axes=boxed pada plot3d();

> plot3d(f(x, y), x=0..5, y=-3..6, axes=boxed);

Sebagai latihan, silakan Anda buat grafik dari fungsi-fungsi berikut ini:

1. f(x, y) = 2 sin(x + y) cos(x), pada [0, 3Pi] untuk x dan [0, 2Pi] untuk y

2. f(x, y) = 2*x^2 + y^2 + 3xy, pada [-3/5, 5] untuk x dan [-3/5, 5] untuk y

Membuat Grafik Fungsi 2D dengan Maple

Dengan menggunakan Maple, Anda dapat membuat grafik fungsi atau plot dengan cepat dan mudah. Dalam tutorial ini akan dijelaskan bagaimana membuat grafik fungsi 2 dimensi.

Misalkan diberikan suatu fungsi f(x). Apabila fungsi tersebut akan dibuat grafik fungsinya pada domain [a, b] dengan Maple, maka sintaks perintahnya adalah


> plot(f(x), x=a..b);

Sebagai contoh misalkan akan dibuat grafik fungsi f(x) = sin(x) + cos(x) pada domain [0, 2Pi], perintahnya:

> plot(sin(x) + cos(x), x=0..2*Pi);

atau dapat pula didefinisikan fungsinya terlebih dahulu

> f := x -> sin(x) + cos(x);
> plot(f(x), x=0..2*Pi);

Mungkin Anda bertanya, bagaimana dengan cara menggambar dua grafik fungsi atau lebih dalam satu bidang gambar yang sama? Ini dia sintaksnya”

> plot([f1(x), f2(x), ...], x=a..b);

Sebagai contoh, misalkan akan dibuat grafik fungsi f(x) = cos(x) dan g(x) = cos(x + 1) pada domain [0, 2Pi].

> plot([cos(x), cos(x + 1)], x=0..2*Pi);

atau

> f := x -> cos(x);
> g := x -> cos(x + 1);
> plot([f(x), g(x)], x=0..2*Pi);

Anda dapat pula memberi warna pada grafik. Untuk memberi warna grafik, tambahkan option color = warna pada plot().

Berikut ini perintah untuk memberi warna biru pada sebuah grafik


> plot(sin(x) + cos(x), x=0..2*Pi, color=blue);

Sedangkan perintah berikut ini akan memberi warna biru pada f(x) = cos(x) dan merah pada g(x) = cos(x + 1).

> plot([cos(x), cos(x + 1)], x=0..2*Pi, color=[blue, red]);

Warna-warna apa saja yang dapat dipilih untuk pewarnaan grafik? ini dia pilihan warnanya..

aquamarine,  black, blue, navy, coral, cyan, brown,
gold, green, gray, grey, khaki, magenta, maroon, orange,
pink, plum, red, sienna, tan, turquoise, violet, wheat,
white, yellow.

Menggambar dua grafik fungsi atau lebih dalam satu bidang gambar biasanya digunakan untuk melihat perbandingan sifat fungsi-fungsi tersebut.

Sebagai latihan coba Anda kerjakan soal berikut ini


  1. Gambarkan grafik fungsi f(x) = x^4 + c x^2 + x untuk beberapa nilai c dalam domain yang sama. Amatilah bagaimana grafik berubah pada waktu c berubah.
  2. Grafik dengan persamaan y = abs(x)/sqrt(c – x^2) disebut dengan kurva hidung peluru. Gambarkan grafik tersebut untuk beberapa nilai c. Amatilah yang terjadi, dan jelaskan mengapa kurva yang dihasilkan disebut hidung peluru! Apa yang terjadi apabila nilai c semakin bertambah besar?
  3. Gambarkan grafik dari y = 1/x dan y = 1/x^3 pada domain yang sama. Coba bandingkan kedua grafik dan simpulkan. Lakukan hal yang sama untuk y = 1/x^2 dan 1/x^4.

Mencari Maximum dan Minimum Fungsi dengan Maple

Dengan menggunakan konsep turunan, nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam selang interval tertentu dapat dicari.

Sebelum membahas lebih lanjut tentang bagaimana menentukan nilai maksimum dan minimum fungsi, terlebih dahulu dibahas mengenai nilai kritis.

Adapun definisi nilai kritis adalah sebagai berikut:


“Nilai kritis c dari suatu fungsi f merupakan bilangan dalam domain f sedemikian hingga f’(c) = 0 atau f’(c) tidak ada.”

Dalam Maple tersedia function untuk mencari nilai kritis suatu fungsi. Function tersebut tersedia dalam Calculus1 Student Package. Sintaksnya adalah

> with(Student[Calculus1]):


> CriticalPoints(fungsi,[interval], [option]);

Penggunaan parameter ‘interval’ pada perintah CriticalPoints() sifatnya optional. Parameter ini ditambahkan apabila diinginkan mencari nilai kritis pada suatu interval tertentu. Hasil nilai kritis dapat dinyatakan dalam bentuk floating point. Apabila hal ini diinginkan, maka tambahkan perintah ‘numeric = true’ pada bagian option. Secara default, nilai kritis yang ditampilkan dalam bentuk eksak.

Berikut ini akan diberikan contoh bagaimana menentukan nilai kritis suatu fungsi menggunakan Maple.

“Diberikan suatu fungsi f(x) = x^(3/4)*(x-7). Tentukan nilai kritis fungsi tersebut”.

Perintah Maplenya adalah:

> with(Student[Calculus1]):

> f := x -> x^(3/4)*(x-7);


> CriticalPoints(f(x));

Dari perintah di atas, akan diperoleh hasil [0, 3], artinya nilai kritisnya adalah x = 0 dan x = 3.

Sedangkan perintah berikut ini digunakan untuk mencari nilai kritis f(x) di selang [1, 5]

> f := x -> x^(3/4)*(x-7);

> CriticalPoints(f(x), x=1..5);

dan hasilnya adalah [3], artinya nilai kritisnya hanya ada satu yaitu x = 3.

Setelah dijelaskan bagaimana mencari nilai kritis suatu fungsi, selanjutnya akan dibahas bagaimana mencari nilai minimum dan maksimum fungsi.


Secara teori, pencarian nilai maksimum dan minimum fungsi dapat dilakukan dengan metode selang tertutup. Metode ini menyatakan bahwa untuk mencari nilai maksimum dan minimum suatu fungsi kontinu f pada selang tertutup [a, b] dilakukan dengan cara:

  1. Dicari nilai fungsi pada nilai kritis f pada selang [a, b] atau mencari f(c) dengan c adalah nilai kritisnya.
  2. Dicari nilai fungsi pada titik ujung selang (dalam hal ini pada a dan b) atau mencari f(a) dan f(b)
  3. Nilai maksimum mutlak pada selang [a, b] adalah nilai f terbesar dari langkah 1 dan 2. Sedangkan nilai minimum mutlak pada selang [a, b] adalah nilai f terkecil dari langkah 1 dan 2.

Nah… kita akan menerapkan teori di atas pada Maple untuk mencari nilai maksimum dan minimum fungsi.

Untuk singkatnya, kita akan ambil contoh saja.

“Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi f(x) = x^3 – 3x^2 + 1 pada selang [-1/2, 4]“.

Langkah pertama untuk menyelesaikan soal di atas adalah mencari nilai-nilai kritisnya terlebih dahulu.


> with(Student[Calculus1]):

> f := (x) -> x^3-3*x^2+1;

> CriticalPoints(f(x), x = -1/2..4);

Dari perintah di atas, akan diperoleh nilai kritisnya adalah x = 0 dan x = 2.

Selanjutnya akan dicari nilai f(0) dan f(2), serta nilai f(-1/2) dan f(4).

> f(0);

> f(2);


> f(-1/2);

Mencari Hasil Bagi dan Sisa Polinomial dengan Maple

Anda punya kesulitan dalam mencari hasil bagi dua buah polinomial? Sekarang sudah tidak jamannya lagi karena telah muncul software Maple yang di dalamnya terdapat perintah untuk mencari hasil bagi dua buah polinomial, begitu pula dengan sisa hasil baginya.


Mmm… bagi siswa sekolah, saya kira ada baiknya kalau fitur dalam Maple ini sebatas untuk mengecek jawaban dari soal yang diberikan guru atau tugas karena orientasi belajar kalian adalah pada pemahaman proses, dan bukan berorientasi pada hasil. Sedangkan untuk para guru, bolehlah fitur ini sebagai alat untuk mencari kunci jawaban :-)

OK… untuk mencari hasil bagi dua buah polinomial, misalkan P(x) dan Q(x) dengan menggunakan Maple, gunakan perintah

quo(P(x), Q(x), x);

Sebagai contoh, misalkan diberikan polinomial P(x) = 3x^3 – 2x^2 + x – 4 dan Q(x) = x^2 + 1. Akan dicari hasil bagi P(x) terhadap Q(x). Perintahnya:


quo(3*x^3 - 2*x^2 + x - 4, x^2 + 1, x);

dari perintah di atas akan dihasilkan 3x – 2.

Bagaimana dengan sisa hasil baginya? untuk mencari sisa hasil bagi gunakan perintah

rem(P(x), Q(x), x);

rem merupakan singkatan dari ‘remainder’ atau sisa. Untuk kasus di atas, maka perintah untuk mencari sisa hasil bagi P(x) terhadap Q(x) adalah

rem(3*x^3 - 2*x^2 + x - 4, x^2 + 1, x);

dan hasilnya adalah -2 – 2x.

Secara umum, hubungan hasil bagi dengan sisa hasil bagi dua buah polinomial P(x) dan Q(x) adalah

P(x) = Q(x) (hasil bagi) + sisa.


Sehingga dalam kasus ini, 3x^3 – 2x^2 + x – 4 = (x^2 + 1) (3x – 2) + (-2 – 2x)

Selamat mencoba…

Komposisi Fungsi dengan Maple

Secara teori, komposisi dari dua buah fungsi f(x) dan g(x) atau (f o g)(x) didefinisikan dengan (f o g)(x) = f(g(x)). Untuk mencari komposisi fungsi dapat juga menggunakan Maple.

Apabila menggunakan Maple, perintah untuk mencari (f o g)(x) adalah

> (f @ g)(x);

dengan f dan g sudah didefinisikan terlebih dahulu.


Sebagai contoh, misalkan akan dicari komposisi fungsi dari f(x) = x^2 dan g(x) = x + 1. Perintah Maplenya


> f := x -> x^2;
> g := x -> x + 1;
> (f @ g)(x);

Hasil komposisi fungsi di atas adalah (x + 1)^2.

Anda dapat pula mengevaluasi hasil komposisi fungsi dengan Maple. Contohnya adalah seperti perintah berikut ini.

> (f @ g)(2.5);

Bagaimana dengan grafik hasil komposisi fungsinya? Ya… tinggal dibuat plot nya saja seperti contoh berikut ini

> plot((f @ g)(x), x=0..3);

Selanjutnya bagaimana dengan komposisi yang melibatkan 3 fungsi atau lebih, misalkan (f o g o h)(x)? Dengan Maple, hal ini menjadi cukup mudah.

> (f @ g @ h)(x);

Benar-benar cukup mudah bukan? Sebagai latihan, coba definisikan fungsi f(x) = 2x, g(x) = 3x + 1, h(x) = x^2. Lalu selidikilah apakah (f o g)(x) = (g o f)(x) ? serta apakah (f o g o h)(x) = (h o g o f)(x)?